probabilidad simple y conjunta
Probabilidad simple
La posibilidad que hay de que ocurra algun evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje
ejercicios
1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87) 68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
2.- Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?
Solución:
3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.
3.- La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un as son 4.
Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
14/52 = 1/13
4.- En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:
Solución:
Hay un total de 32 infantes. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 12/32 = 3/8
5.- Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:
Solución:
No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
6.- Se lanzó un dado dos veces y en ambas oportunidades se obtuvo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se vuelva a obtener 4?
Solución:
La probabilidad de obtener 4 en un lanzamiento de dado, que contiene seis caras posibles es 1/6.
Como falta un solo lanzamiento, la probabilidad de obtener cualquier número en un lanzamiento es 1/6.
7.- Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:
Solución:
No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 1/2
8.- Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:
Solución:
Dan lo mismo los resultados del segundo y tercer lanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero.
Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:
p = 1/6
9.- La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:
Solución:
Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
p = 4/6 = 2/3
10.- Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5?
Solución:
Sea A ≡ Obtener un número par menor que 5 = {2, 4} ⇒ #A = 2. La probabilidad pedida es
p = 2/6
11.- Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6?
Solución:
Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables.
La probabilidad pedida es
p = 3/6 = 1/2
12.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?
Solución:
Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es
p = 1/25
Independiente de la cantidad de televisores que halla, la probabilidad es siempre la misma.
Lo que cambia con la cantidad de la muestra es el número de televisores que se espera que estén defectuosos, que sería en tal caso:
1/25•100 = 4 televisores.
13.- Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro”
es:
Solución:
Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es p = 30/40
14.- Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:
Solución:
5 es un número primo, es decir, sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Es decir, hay dos casos favorables, de un total de 5 bolas numeradas y posibles de extraer. Entonces, la probabilidad pedida es
p = 2/5
15.- La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un número primo es:
Solución:
Los casos o resultados posibles al lanzar el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales.
Los casos favorables a obtener un número primo (divisible solo por 1 y por sí mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto,
p = 3/6 = 1/2
16.- Se hacer rodar 2 veces un dado común y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es:
Solución:
Constando de 36 casos posibles. Para hallar los casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos que comiencen con un número par y cuya suma con el otro resultado sea mayor que 7: {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (4,4), (4,5), (4,6), (2,6)}. Totalizando 9 casos favorables.
Entonces, la probabilidad pedida es
p = 9/36 =1/4
17.- Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades?
Solución:
Se tiene 36 resultados posibles al lanzar dos dados. Los casos favorables son: {(6,4), (5,3), (4,2), (4,6), (3,1), (3,5), (2,4), (1,3)} ⇒ #casos favorables = 8.
P(diferencia de 2 números) = 8/36 = 2/9
18.- La probabilidad de que al hacer rodar dos dados de seis caras, numeradas del 1 al 6, el valor absoluto de la diferencia entre los números obtenidos sea mayor que 1 es:
Solución:
Al lanzar un solo un dado tenemos 6 casos resultados posibles. Al lanzar dos dados, los resultados posibles son 6 • 6 = 36. Hay que intuir que los casos favorables son numerosos, por eso vamos a ver primero el evento complementario. Los casos en que la diferencia en valor absoluto (independiente del signo de tal diferencia) entre los dos números, sea menor o igual a 1 son: {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)} es decir, 20 casos.
Luego, la probabilidad del evento pedido es:
p = 20/36 = 5/9
19.- Si lanzamos dos dados honestos –no cargados, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de los puntos sea igual a cero?
Solución
Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. Para que la diferencia sea cero, los resultados en los dos dados deben ser iguales {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} son 6 casos favorables.
Luego la probabilidad pedida es
p = 6/36
20.- Un animador de concurso lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Si el concursante obtiene una suma mayor, gana, de lo contrario, pierde. Si en cierta ocasión, el animador obtuvo una suma de 5, ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante pierda?
Solución:
Para que el concursante pierda, debe obtener una suma menor o igual a 5. La pareja de resultados que suman menos que 5 son: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} Habiendo 10 casos favorables. Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral. E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ #E’ = 6 resultados posibles. Al lanzar dos dados, las combinaciones de resultados posibles es #E = E’2 = 62 = 36. La probabilidad de que pierda entonces es:
p = 10/36
probabilidad conjunta
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.
Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:
Para sucesos dependientes:
NOTA: Si observas esta regla, puedes darte cuenta que se relaciona fuertemente con la Intersección entre conjuntos ( y ), es una multiplicación.
Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?
Sea R = sacar un rey
Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:
Para sucesos independientes:
Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?
Sea C = carta de corazones
NOTA: Observa que la probabilidad del segundo suceso no se ve afectada por la probabilidad del primero. ¿ A qué se deberá?.
Ejercicios
1. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas, la urna B contiene 2 blancas y 5 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad que las dos bolitas sean blancas?
2. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas, la urna B contiene 2 blancas y 5 rojas y la C 3 blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de cada urna ¿Cuál es la probabilidad que sean las tres del mismo color?
3. Se sacan dos cartas sin restitución de una baraja de la cual se han eliminado previamente las cartas con figuras. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las cartas sea 19?
4. Se sacan cinco cartas sin restitución de una baraja, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Las primeras tres cartas sean reinas y las dos ultimas reyes?
b) Solo las tres primeras cartas sean reinas?
c) Las tres primeras cartas sean reinas?
5. Se sacan tres cartas sin restitución de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos un rey entre las tres cartas?
6. Un dado tiene una cara pintada de rojo, dos de verde, y el resto de negro. Se lanza el dado cuatro veces ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Las tres primeras veces se obtenga rojo y la ultima verde?
b) Solo las tres primeras veces se obtenga rojo?
c) Las tres primeras veces se obtenga rojo?
7. Un cazador dispara 7 balas sucesivas a un tigre enfurecido. Si la probabilidad de que una bala mate es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que el cazador este todavía vivo?
8. El señor Pérez viaja en un avión de 6 motores para asistir a una importante reunión en París. La probabilidad de que un motor falle es 0.10 y cada uno funciona independientemente de los otros. Si se necesita al menos un motor en cada lado del avión, ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Pérez este ausente de la reunión a causa de un accidente de su avión?
9. Un lote de 100 fisibles contiene 2 fusibles defectuosos, si se prueban los fusibles uno por uno, ¿Cuál es la probabilidad de que el ultimo fisible defectuoso sea detectado en la tercera prueba?
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente laocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo
:Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.Dos o más eventos son no excluyentes, oconjuntos, cuando es posible que ocurranambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en formasimultánea.
Ejemplo
:Si consideramos en un juegode domino sacar al menos un blanco y un seis, estoseventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Reglas de la Adición
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dossucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)
si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
Evento mutuamente excluyente:
Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente laocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo
:Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.Dos o más eventos son no excluyentes, oconjuntos, cuando es posible que ocurranambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en formasimultánea.
Ejemplo
:Si consideramos en un juegode domino sacar al menos un blanco y un seis, estoseventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Reglas de la Adición
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dossucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)
si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
Evento mutuamente excluyente:
Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo
EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
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